我用的时候觉得指标有滞后性，RSI还稍微好些，目前我看的是黄金分割和一组数字，
! n4 L a- |' u5 u" z“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年。籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
. w: x( i3 Y6 Z; p
7 n. v- u) O) D斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21…… & _/ u2 k+ c5 H; h
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）【√5表示根号5】 # z( Z2 o o& E$ h* ?1 h5 _3 V8 z
很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。
7 g4 Y% @8 ^2 X2 e/ D! B R) ?$ L
, V! |* j3 h7 p6 ^$ z9 t. m比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……
3 H7 w: A2 \$ L9 U还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。
1 m+ g% _; C/ `. d% V$ k& f如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。% q. J+ \; B3 Z) h7 B6 ]+ _1 H
9 G- s+ |9 U. x$ \) M
如果任意挑两个数为起始，比如5、-2.4，然后两项两项地相加下去，形成5、-2.4、2.6、0.2、2.8、3、5.8、8.8、14.6……等，你将发现随着数列的发展，前后两项之比也越来越逼近黄金分割，且某一项的平方与前后两项之积的差值也交替相差某个值。
8 G! a, J" N6 j5 [) u( l* c5 k5 Y7 I9 M3 e# H
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。% c6 t, D! u# {7 X# U
) f* O4 q; S ^& t
斐波那契数列（f(n)，f(0)=1，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3……）的其他性质：
; Q8 o! U" h% ^- S4 g1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-16 m$ B$ i) o" ^# e4 ]
2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)-1
! d& M# Q6 p& `& \& A0 c0 O3.f(0)+f(2)+f(4)+…+f(2n)=f(2n+1)-1
% L, X& q {* e4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)
7 {. S. V. }% O% d- s+ ~+ A+ H5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1$ X$ c w4 J T
6.f(m+n)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)
+ V7 V3 U( B3 P8 r' P# Y; _, W7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)* W! a5 a% e& u; }- |, N* s
8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2% x, }* ~( W% g- A- }- k
1.排列组合.6 A7 s# V4 M; t. \* P, t3 D
有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法? 2 ?7 R' q2 U6 O4 G; P1 q, |5 v
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
1 Z6 ]; l4 d: V& s1 w1 G1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种
& L4 ?0 d3 X; a8 q3 k2.数列中相邻两项的前项比后项的极限.
3 I. R4 S, j- o `: q就是问，当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？' S# g* Q# w8 g# Q+ Z p
这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是所谓的黄金分割点，也是代表大自然的和谐的一个数字。6 |- ^$ F! y$ a9 I4 [: d7 @, Q1 V
3.求递推数列a(n)=1,a(n+1)=1+1/a(n).的通项公式.
4 j. U Z6 O) C# V* l. B) a% s |6 V由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n).将菲波那契数列的通项式代入，化简就得结果。/ S, Y6 J! X' L$ n# w {! U9 ?1 U
斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。
5 a v% a k) U; V斐波那契数列
+ h3 S" C# {6 c1 @
* q4 R# L. ]( l! Q一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
, @' `1 E; W. ?1 R' e6 b% x我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下： 7 }- k" v0 \; g- W
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对;
# ]! D7 {! @ {2 Z两个月后，生下一对小兔民数共有两对;
% y, u4 j$ T1 i8 ?4 A三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对; : J( C |/ K- v2 C1 s
－－－－－－
( z0 I% N% n( S* g$ N8 Z依次类推可以列出下表： $ V( N' F. G+ g# j+ b
经过月数：---0---1---2---3---4---5---6---7---8---9--10--11--12 ! x* M4 L. L/ ?# q. Q) p& A
兔子对数：---1---1---2---3---5---8--13--21--34--55--89-144-233 0 e) u* G: a. T; x+ f/ J: k
表中数字1，1，2，3，5，8－－－构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 2 e) T& g$ f4 R# _
这个特点的证明：每月的大兔子数为上月的兔子数，每月的小兔子数为上月的大兔子数，即上上月的兔子数，相加。
; @( |% R( D) B这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在＜算盘全书＞中提出的，这个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性质外，还可以证明通项公式为：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....）. n+ p. e$ p/ f( a! U r
0 h2 X" q" W0 H, ^9 x9 U2 l( z
斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21…… 6 u. p; x) Y* D9 z. A1 i
9 `5 w7 o+ s: k9 K$ Y: b; z
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
) J1 Y% X8 B+ F3 MF(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
3 x1 X/ A$ W! f
X8 j+ U5 l, u, d& `+ y显然这是一个线性递推数列。 y% i3 e" h$ {/ H4 Y# |2 K
( d/ f; h) v+ v) {* H G' n% C; ?' |7 J- J
通项公式的推导方法一：利用特征方程
! b: D; f$ w8 T1 } J* R0 @2 J. ~4 M3 O
线性递推数列的特征方程为：
' ?+ x$ W; N) X3 vX^2=X+1
; ]3 N+ g" K1 g# X解得
0 R4 |" w: Z, J r* ?2 a9 L! S3 CX1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
I" y: L0 z* i4 c) f/ ~' {6 Q
$ p" q' D$ a' z; w K# Z" I6 q则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n, ?2 T9 J& C- t8 q
∵F(1)=F(2)=1
# t+ Y* }: U& k h# w+ [3 w∴C1*X1 + C2*X2
) _, g# O, t$ GC1*X1^2 + C2*X2^2( x# C% Z" ?2 j
解得C1=1/√5，C2=-1/√50 ^; A! I, y) t* g8 j& C
! ?/ o& x7 G! |% r3 D: `6 p! k∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】* w% W. g* \+ U
4 ?! b0 }; j; T) f* [通项公式的推导方法二：普通方法
) r( e# [( E8 ?9 k" U
! x2 k2 ~1 R* f3 L9 R" H, r& n设常数r,s% e" i3 k8 X- v3 v6 p; f1 V
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]5 w5 `$ j6 R. p
则r+s=1, -rs=1
/ x) R# }2 e- ]5 ~( n
; S/ u' N7 O+ _# z$ m- Un≥3时，有; \& m! P M" z# s7 i
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]' g! d- s$ m; z2 S7 v
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
/ r$ j( x1 o- zF(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
! S- J0 r4 m4 @4 \- w/ Q7 Q5 B& N8 L. a……, ~- ^% N( T, r# S; D" J, H6 z2 w; A# t
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
8 ?8 N: L& H+ C# }
4 X2 [+ Y4 i" x8 r将以上n-2个式子相乘，得：
# d5 N. m# D1 { N" f: gF(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
3 u2 j: H" a; v m∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
7 {, k# s9 r" m( O上式可化简得：! Z5 e/ X/ o# [2 E3 ?
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
. R5 e5 _% d* j, k7 ^) {2 n
$ a8 b' F9 H- U# O1 y* U' r" u那么：) X2 r- q. S7 ^/ v4 e
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
1 d, y, [/ [( G# z; l( ~$ Y= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)3 h7 {% T: A: g( h( x% @
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
2 s( E5 N/ `3 R' \. K. e( l1 ]& A……, i h$ g0 @& @5 ^* a2 b' h9 F
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
; C* `$ }6 |7 A7 {= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)1 J5 t9 `% c' W, N
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
# D' j! \- V8 J; W) O/ \7 y q=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
- |5 |* Y+ f% B; ^: K/ S=(s^n - r^n)/(s-r)
1 N; @: y$ v) \' V9 V4 R* S2 R6 D
r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2) c0 [4 I+ E$ w
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
